Формальная и математическая логика.

Формальная логика - это наука о законах и формах мышления. Она занимается анализом обычных содержательных рассуждений, выражаемых разговорным языком. 

     Умозаключение - прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание; из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение. 

Например: Все металлы - простые вещества. Литий - металл. Литий - простое вещество.

Чтобы достичь истины при помощи умозаключений, надо соблюдать законы логики.

Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода.

Формальная логика связана с анализом наших обычных содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Математическая логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями, для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.

     Первый этап в развитии науки логики связан с работами ученого и философа Аристотеля (384-322 гг.до.н.э.). Он пытался найти ответ на вопрос "как мы рассуждаем", изучал правила мышления. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. Он подверг анализу человеческое мышление, его формы - понятие, суждение, умозаключение. Так возникла формальная логика.

     Второй этап - появление математической, или символьной, логики. Основы ее заложил немецкий ученый и философ Лейбниц (1646-1716). Он сделал попытку построить первые логические исчисления, считал, что можно заменить простые рассуждения действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Но Лейбниц высказал только идею, а развил ее окончательно англичанин Джордж Буль (1815-1864). Буль считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Недаром начальный раздел математической логики называют алгеброй логики, или булевой алгеброй.

Алгебра высказываний. Основные логические операции.                                  

     Объектами алгебры  высказываний  являются  повествовательные предложения, относительно каждого из  которых  имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Такие предложения называются простыми высказываниями. Например:

1. "Земля - планета Солнечной системы".

     2. "13>27".

     3. "Число 2¹¹²¹³ - 1 является простым".

Высказывания 1 и 3 истинные, высказывание 2 ложное.

     Приведем примеры предложений, не являющихся простыми высказываниями:

     1. "Посмотрите в окно".

     2. "Который час ?".

     3. "2х+7>12".

  Относительно этих высказываний нельзя сказать,  истинны  они или ложны.

     Простые высказывания обозначаются большими буквами и, если высказывание истинно, пишут А=1, а если ложно, то А=0.

     В алгебре высказываний над простыми высказываниями  определены следующие операции:

     Логическое умножение.  Соединение двух простых высказываний А и В  в одно составное с помощью союза  И  называется логическим умножением или конъюнкцией, а результат операции - логическим произведением. Указание о логическом перемножении простых высказываний А и В обозначается так : А*В или АВ (конъюнкция высказываний). Например,  пусть  даны простые высказывания: А - "Минск является столицей Белоруссии"; В - "В Минске проживает 1543 тыс. человек". Тогда логическим произведением,  или конъюнкцией,  этих высказываний  будет  составное высказывание: "Минск является столицей Белоруссии, и в Минске проживает 1543тыс. человек".

     Логическое сложение.  Союз  ИЛИ  в обиходе  мы применяем в двух значениях: исключающем и неисключающем. Примеры:

1."Володя вчера в шесть часов вечера читал книгу или ехал в автобусе на стадион". Союз ИЛИ использован в этом предложении в неисключающем смысле - Володя мог читать и одновременно ехать в автобусе. Одно не исключает другого.

2. "Володя вчера наблюдал за ходом матча с западной или  с восточной трибуны".  Здесь союз ИЛИ имеет исключающий характер  -  две описываемые ситуации исключают друг друга:  нельзя наблюдать один и тот же матч одновременно с  двух противоположных трибун.

     В алгебре высказываний союз  ИЛИ  будет употребляться только в неисключающем смысле.

     Соединение двух простых высказываний А и В в одно с помощью союза ИЛИ, употребляемого в неисключающем смысле,  называется логическим сложением или дизъюнкцией,  а полученное составное высказывание - логической суммой.

     Логическое сложение высказываний А и В записывается так: А+В ( дизъюнкция высказываний А и В ).

  Например, пусть исходными являются простые высказывания:

А - "Шесть - число. кратное трем"; В - "19>37". Тогда логической суммой этих двух высказываний является составное высказывание: "Шесть - число, кратное трем или 19>37".

     Логическое следование (импликация).   Соединение  двух высказываний в одно с использованием оборота речи "Если ..., то ..." называется операцией логического следования или импликацией. Указание выполнить операцию импликации  над высказываниями А и В записывается так: А®В  (читается "А имплицирует В" или "В следует из А").

     Например, даны высказывания: А - "Трижды восемь равно 24"; В - "Кит - морское животное".

     Составное  высказывание,  полученное  после  выполнения операции импликации, будет таким: "Если  трижды восемь равно 24, то кит - морское животное".

     Эквивалентность.  Соединение двух простых  высказываний А и В в одно с использованием оборота речи, или, как принято говорить, связки "... тогда и только тогда, когда ...",  называется операцией эквивалентности.  Эквивалентность над высказываниями А и В записывается так: A~B (читается: "А эквивалентно В").

     Например, даны простые высказывания: А - "Земля  вращается вокруг Солнца по эллиптической орбите"; В - "Число 35 кратно 19". Составное высказывание, полученное после выполнения операции эквивалентности, будет таким: "Земля вращается вокруг Солнца по эллиптической орбите тогда и только тогда, когда число 35 кратно 19".

     Все эти операции были бинарными, т.е. выполнялись над двумя высказываниями. В алгебре  высказываний  определена  и широко используется одна унарная операция.

     Логическое отрицание (инверсия).  Присоединение частицы НЕ к сказуемому данного простого высказывания  А  называется операцией логического отрицания. Указание выполнить  логическое отрицание над высказыванием А записывается так:  (читается: "А с чертой", или "Инверсия А").  Иногда   вместо приведенного определения используют другое,  ему эквивалентное: присоединение слов "Неверно, что ..." ко всему данному высказыванию А называется операцией логического отрицания. В результате выполнения операции логического отрицания получается новое высказывание.

     Например, пусть дано высказывание: А - "Число 5 является делителем числа 30". Тогда отрицанием его, образованным по первому определению, будет высказывание:  - "Число 5 не является делителем числа 30". А если использовать второе определение операции отрицания, то получим:  - "Неверно, что число 5 является делителем числа 30". 

Суждения, образованные из простых суждений с помощью логических связок, называются СОСТАВНЫМИ:

• связка "И" предполагает одновременную истинность составляющих суждений;

• связка "ИЛИ" предполагает истинность хотя бы одного из составляющих суждений;

• связка "НЕ" применяется для отрицания суждения. Отрицание истинно, если ложно исходное суждение, и наоборот.